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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 kgBnpA*I  
3\!pN  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -!1s\iq   
^ZZrS6I  
　　1、三角函数本质： <8tZ[q0J@  
^Qx-=_  
　　三角函数的本质来源于定义 @Y0 ,!W_S  
=)-jH>E5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 FC8G.  
KHK [WH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 itu<#CS  
sa?k H~R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： A|<^)  
R61)LC  
　　推导： 9.F\.bQb  
YM %=g v  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 2@y a^?  
 [f$8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) /4m|=  
u 9%9Xk?J  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .yncs   
uSDG:S J  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m:\pM!g2  
iI%K0dGa{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 2 rtIi2Be  
I#@L;tY  
　　[1] 2Ba .D@i  
HN6M%^+  
　　两角和公式 ,]]?o%'  
J<Sk/f}f%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]Kl9@QL4m  
N`V~RMk_  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  HlG%irl  
zz.2$` s  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB EM]pw]hG  
.EDLwA #p  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]M .a^"X  
Wag/%DUsgz  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) cJO2ch  
CDJ 6   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) yhtSEkATNw  
@d +@M<  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  kTzgfO^  
;8|mjn=  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Uzy~u)9  
~("8?|U  
倍角公式  RSZ>gr  
yjABQ6;lu  
　　Sin2A=2SinA•CosA =jG4)h  
*6U 9Cw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 GK,pQt  
!"cB3:V  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6B"f5E]:u  
"JD,=x6S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 4f2@i4/X  
}sDmgiH\  
三倍角公式 DmiIA9^C  
 f~Q~{;p[  
　　 )pr w/!"  
U3A C  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) f{dXykX  
$2Zn8[P  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) /p"3.  
\01  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2p*G?g  
N{lM3]PM(X  
三倍角公式推导 U[99C:+/Y>  
s#-&!;>  
　　sin3a +&/=/+s  
Mruci  
　　=sin(2a+a) eS\_Au  
z @K +}/  
　　=sin2acosa+cos2asina NEqzp<$  
7u{X/^;&V  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?T7+l"r:_  
uTT)zwe4  
　　=3sina-4sin³a N.,W,:SG  
Qlj9Avm  
　　cos3a *H.9D 1/lI  
S.X-)eC?(  
　　=cos(2a+a) V 9?GP(~f  
u ? DHSB)  
　　=cos2acosa-sin2asina *!Ssy  
#;@aj<+u  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa FH^4K>yD.  
Qo3p/L u  
　　=4cos³a-3cosa 3{^ZF_X{'  
YbFIJ^mP  
　　sin3a=3sina-4sin³a s2NO|UGl  
q.v&Q8m%  
　　=4sina(3/4-sin²a)  <a*|   
,_YMC{M\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4{+Nu  
0dwmqRJka  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) VP(7*[*!7Z  
ZuNwLtVSc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) k iN^"H  
a5RA(V#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Jn{pI'v4{  
RnN!*2t`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) A7 {Z5>  
B;O| =G  
　　cos3a=4cos³a-3cosa !6)/rP1k  
_<w#o^[NS  
　　=4cosa(cos²a-3/4) k3II$?vm  
/>i,[6s;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] R-U6?BM}+  
ZE7xQ%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -kGc:6!  
qHfZRtBy  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  *1=;;ksO  
`#yVHd_I  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} I>X6i.  
,:uGu ]tL  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |t;cU(+  
'gk#ORx]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] wj.[>t;  
{ 3A rp  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] vQ?? q^^  
"R0W?0Yi  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) o 98eY R4  
M6L.7vq%B  
　　上述两式相比可得 p=uf7& 1  
#|2weT  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) q\jI!B@p  
<7 !h% 6  
半角公式 7oa,/$  
3@wsO`zjBD  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); bpW0vttl  
A< {#"G  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;D_Pc2Gl  
n}q*4=?  
和差化积 >&0K rB4%  
f:*"O[+A  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #hLfjtav  
?cusY #  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IN,kn (  
~yMm+,9u!  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aVRHL#  
JVhB!p'!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B_i2+>EF  
8mfzAV'k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {q.Tkxew+  
5*4tX\V  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]@'Hj8I  
w@'/a2E  
积化和差 5qqFu2ij8  
FZ#2nt&?  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <?>7+.SP2B  
_X#fIw'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,g37|F)Z'  
Xm*$zE{q7  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] b%^ HF  
BOPoT0'a)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2#uv2{v  
r.$?oh  
诱导公式 R6Gv0#5J  
U :N*0  
　　sin(-α) = -sinα l\P#g~PwA  
VpO}PJ.3  
　　cos(-α) = cosα P$Oo*GY&  
_<_[GHg  
　　sin(π/2-α) = cosα %QJD"5  
'Sqcq%s  
　　cos(π/2-α) = sinα *TW;L::9  
~s.w7p{  
　　sin(π/2+α) = cosα {1 6l(q$  
 :0 Wh  
　　cos(π/2+α) = -sinα H#&fm?")+  
]FcN(:9i  
　　sin(π-α) = sinα !$&z9VE/lg  
Ai'.4K)  
　　cos(π-α) = -cosα B? 9=./V  
P<.WIXi  
　　sin(π+α) = -sinα 't~T?VmT_a  
kmtoo"i  
　　cos(π+α) = -cosα }d .~q`  
CdVEI5k  
　　tanA= sinA/cosA ;(w{B2?l-  
kviyNS~@7z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .[v$c|p<  
6Ia\e&"  
　　tan（π/2－α）＝cotα c/ rvy  
Y &_&>}#b  
　　tan（π－α）＝－tanα rcy&kXFP1  
fv>a9Lw  
　　tan（π＋α）＝tanα P \E9(eE`v  
`\#nB"-  
万能公式 I=v E'_  
:I)Vf!aD  
　　 a!@)5 9  
PK]-Yv|uR  
其它公式 }>a 2 u"  
^H"Y<37~^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 a)LQ2'zVR  
Z\R^=,LF}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `b[IV];`B  
tKB/`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 O#1Qin  
CW$$mi7  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $90gITd  
?{q]b1  
　　对于任意非直角三角形,总有 VDIQMq;m  
OmOL,r4x  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9M6:m _n  
M?9M=jGl  
　　证: )Z&C _d  
b' VH  
　　A+B=π-C 3vDFB  
4VGf l  
　　tan(A+B)=tan(π-C) =taJhf_k  
00#)XV:y  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) iW+CQ~TQ  
OG !qX|Vi  
　　整理可得 4p<JE/j V  
,w)U<<.?S/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,,>)UK  
L Vs9E*  
　　得证 |'$5XYf<{  
5~"[9&!dq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立  j~N'T+  
b`_-zQ  
其他非重点三角函数 ]R5\y  
pt)vdm@?3  
　　csc(a) = 1/sin(a) w+(,/rD.  
2mqDjOM  
　　sec(a) = 1/cos(a) Vc\=r*:-`  
+=-A71Iy  
　　 8Q]D crx5  
l ?%t?]  
双曲函数 yl/u%JIpo  
4F{3@HA^_]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1-J|NO  
uRNn#2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 BE/TfG&'F  
mmg! Yt  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 9K_M~{pq7  
.)^{]8:BFM  
　　公式一： S tFZ-JJ  
2 IO,\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： gm{xz=L*6  
0v8A5d -  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J=Rzy  
Ik*4MR  
　　cos（2kπ＋α）= cosα !7Z){=MP  
\UP7,!N.C  
　　tan（kπ＋α）= tanα =J1oP)  
*??I*^3  
　　cot（kπ＋α）= cotα Mc/w,=hX  
FB#<HOE  
　　公式二： Z)bKdOX3  
kLIW$_v|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 69YSpy W  
8Ce`Q  
　　sin（π＋α）= -sinα  rW8j*2x  
4xR'< y  
　　cos（π＋α）= -cosα J 43 r_O  
}fyL 'U3Gf  
　　tan（π＋α）= tanα zK`3#%S  
s#n90p  
　　cot（π＋α）= cotα $]xn}1  
<|YQx;6  
　　公式三： =WE1E-([%  
<,dv*Ia  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： XC*7y,X  
Sf<q:!Xw"  
　　sin（-α）= -sinα ;IG<  
'D{BpoW;  
　　cos（-α）= cosα _[U)<b"s0  
D4?@2X  
　　tan（-α）= -tanα XzM:7NUL  
 P 44?  
　　cot（-α）= -cotα `J((3r8p  
V^],7r'8R  
　　公式四： D[#nI{  
6y@TR{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Md2N/p%i'  
)[`.9b`}`  
　　sin（π-α）= sinα -a<pe;9(O  
D]Q38[HKz  
　　cos（π-α）= -cosα _2@ 1o-  
Abe)VDab  
　　tan（π-α）= -tanα Z$ ]gTE  
:a9.__ 4]  
　　cot（π-α）= -cotα ,{<aj0  
TCeQM|m>@  
　　公式五： {8.'7Fc 1  
l+[l 6Q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： O` ^P1>G  
I% #qYe.  
　　sin（2π-α）= -sinα ,fCHP0+  
3+7kT2  
　　cos（2π-α）= cosα }ArbqsN'|  
,M'O`.n  
　　tan（2π-α）= -tanα !if< %1  
9Ja_<ZE\&  
　　cot（2π-α）= -cotα (7Ez"aOF   
[c,^B SqOD  
　　公式六： .R5'OjYr  
I@t<:2[Pj  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： \63[1bom  
6(9?I^5  
　　sin（π/2+α）= cosα t &{}  
t;Z |gW  
　　cos（π/2+α）= -sinα "/uKaDt  
!{Lp2Z]"  
　　tan（π/2+α）= -cotα ZK,\.^S[ie  
E1|W.(,y2  
　　cot（π/2+α）= -tanα >!QA2  
r,>zt<yW  
　　sin（π/2-α）= cosα zS:8KJ0.~  
t\Q_Uy0a  
　　cos（π/2-α）= sinα }Hz<Lv$ }  
/U+,18G}  
　　tan（π/2-α）= cotα X-{ G}Vk  
;.q2*4^s  
　　cot（π/2-α）= tanα w=ggb4!@K  
h)Ou(V!H  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Y>BWW ' J[  
Ka]Ye?z  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]Q+;E5bD  
&vX.daN  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MJUzM)qf  
!aPn4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Q*DDAxL  
HGOL*P  
　　sin（3π/2-α）= -cosα >jfv $0  
ya'S!cu  
　　cos（3π/2-α）= -sinα f:M't8U(  
2?\  
　　tan（3π/2-α）= cotα lRr{y 1|  
3x<iC)'~  
　　cot（3π/2-α）= tanα pFSa HZYb$  
[ sl7A7!G  
　　(以上k∈Z) uko_Z^4h  
wU4p3l  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 t`)W (]b  
%5?|"lS)|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = bwdS^+O|  
etQ}YZ mV  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } pt^ZM5ZGh  
GWv>w1 Nm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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