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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,G V";  
|y@2zHv  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. /Q UCs^  
Gx+=|I0}  
　　1、三角函数本质： q:4r j$  
c=RXA  
　　三角函数的本质来源于定义 LD?Wm'L  
`^XL&l  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3]7mpZkbrJ  
+`W|a91,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ?$^Q#  
O&6]01A$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 0P-JTZN%  
s>S1)@;`H  
　　推导： `,_U?HRvY  
L>a41s5a  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 mk/$N;  
q x4hO  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) I.QIS3 (!  
wV$ky /68e  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) yf$e)/]_  
" O iQ `n  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 tsS!T Fy  
AVaFYr5u  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?={]Hd- Wf  
?$[Yi:N  
　　[1] !}HHp!  
^&$ Mb9  
　　两角和公式 Wm1[4V  
BV" ]g; A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB yV;H.N  
Q d!AR _f  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  e!%No2*   
`-f  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9JM3s$y  
I_tT!J ~^  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &@^JqYy"  
@'*{E.mBz  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~qz?3h:  
p<;\zY\hVv  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) kE<W3rH(  
-/)[s}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  e2z/S/?f  
&;G-]n?#O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ed,uAUrVs  
;-&J9R1$j  
倍角公式 f(+if\%pl  
@>6tHMGA#  
　　Sin2A=2SinA•CosA Q;4(v`N  
?&Mq/Q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +peRz`%)k+  
d g@YTD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Ylgq F:\  
&Q51xB-`3  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 'U7ze-  
t(UIX QP  
三倍角公式 Z,N6Ve=M  
?Na_i&?M]`  
　　 7Z$f!=+  
Sc#+& o  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \2V$ehH\  
zQV6&vJs  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1"!;V|  
7"U5Q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) #KIt3u`m  
i$oyf`wR  
三倍角公式推导 e|s YFVo  
+"](*0  
　　sin3a Lye!m0@)M  
M!>"#wj?  
　　=sin(2a+a) q(oo[JL!  
s04mlip  
　　=sin2acosa+cos2asina W8Ug) O|\  
(!^TU0z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *qX &Fg{+  
G 9%7p  
　　=3sina-4sin³a lfv9M Su  
mKYdVc"S-  
　　cos3a i>(?/\SOi  
YX'<(_,jW  
　　=cos(2a+a) ? t[  
4zz,Caav  
　　=cos2acosa-sin2asina {w_w_Yi|  
;wB-_< ftH  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Lhr_4?  
&*lQ>g(  
　　=4cos³a-3cosa ylI&e2BE  
K|/$y`I  
　　sin3a=3sina-4sin³a <duKLgIL{  
Y=0cX8v[|)  
　　=4sina(3/4-sin²a) |9fN Giwju  
VV:/L|+_&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] T_~;%2o>Y  
p[ CY5pH0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @Y^=k*7  
@AA%9A(@\6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) '^&Z?@  
n(k|%FK/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `.x`2Nvx  
?Mt*.#tS  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 4"o7c4rE  
{Zr^.h  
　　cos3a=4cos³a-3cosa * )L'\  
% >f|H\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Bv$@@<qp  
raOKFS30  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Z2q}AfE?  
.r?CaO>2!E  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) XNxRKXF  
O)EWsT @  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) GLj_XY9  
_r O\z!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} nAB7sogb  
w'_iur/J`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 'h3 7UL<4  
G ?v$~)^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^ } yTv\7  
Y aS; (S  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )YS $TTU  
GO`9rB  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 0}P=@V \  
Fu%U1+G^  
　　上述两式相比可得 :Yiu t%qZ  
a^)]bR:1YA  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) <\fcP^]!X  
, 0]]~m  
半角公式 P!oPfb`|c  
 <sGD  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); h@JaKtVM  
e&<NgcIQ\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. L g hCBW  
#rWq[H+C^  
和差化积 d]4P @`  
J1n s482  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1N2p b#  
#!dJD~;Of}  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rCVZVh,  
w !lY[B  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2 N&y4 `  
G. &Tv  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;tYde}   
^IRqa-BkF  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D+vKQ(Mz 8  
B z4,J]*;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) x3[F[p:{Z@  
+dUnR6\\  
积化和差 On%,3m33)  
4}Sj3zYV  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ppT]l6]HU  
P8). >o~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %w$rnMR(nd  
Cp6&:R4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ]!A{\}m  
 'L4{!7  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Vq2Drpi  
)iP+A3,G.  
诱导公式 x *2b]3?  
o]&dG}j  
　　sin(-α) = -sinα 8:;XSgGTx  
T]F[\d)  
　　cos(-α) = cosα V$\3''^1  
ddN5H,=9t8  
　　sin(π/2-α) = cosα 8/ o$,  
FW4 PI6  
　　cos(π/2-α) = sinα *y.3 \  
b< JO>DE  
　　sin(π/2+α) = cosα /PA[Jk{  
B|/{U^0b  
　　cos(π/2+α) = -sinα _eu;5B;AX  
,a@&-F  
　　sin(π-α) = sinα oxlOB`?   
&GV8:L<r  
　　cos(π-α) = -cosα rIK(+D8o  
oS{~ {`Nd  
　　sin(π+α) = -sinα UI x9j"oN  
u:<l[O[O  
　　cos(π+α) = -cosα 0YfC/.1X<  
ofi<Zf9  
　　tanA= sinA/cosA >h }1pq8G  
Bo Dr R8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Mr3 sp p  
(Pn <bk@  
　　tan（π/2－α）＝cotα A5[0s "AZ  
[-}b  
　　tan（π－α）＝－tanα {m5 Qh?  
^oXj^"jh  
　　tan（π＋α）＝tanα S *Lq>.@j  
)>7l,;G  
万能公式 k#)hJ<9  
8[ |@0=q  
　　 ;my|#8QH  
*#`:bVTS  
其它公式 U|Q) 8  
<cR?>] 7wo  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G6>4UOpJ4  
'8Yg @81  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Y`}0?k'jgz  
QhuB^iMee  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 #%^a_G^,n4  
&Xr#/5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 '>C;]S"  
]d+yA  ~  
　　对于任意非直角三角形,总有 Rp;g$6Ki!  
uT" sdtF  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7V\ Cg=6B  
 ]"VB  
　　证: 9S>e2<(n  
aj-'\ Bs  
　　A+B=π-C 6UAf0y~4  
%whFL<C  
　　tan(A+B)=tan(π-C) >S]KNy@7  
EDS6,*k)"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) jMi@r]N@f  
?t]er[x!dr  
　　整理可得 ^\ KHyNGM  
Td3#,]izt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kfVNB_M}  
#s3cuPk_  
　　得证 @]V7A>rcH  
zDA6!G  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }+0Xy0>b  
ZwMbi(J'  
其他非重点三角函数 |]6 \8`   
NJ1GBL~ \  
　　csc(a) = 1/sin(a) >~=5h]  
".5? bB?8  
　　sec(a) = 1/cos(a) qu+k*Vt'  
wMw10&  
　　 %VFD<;2fm  
m9e;5c Hn  
双曲函数 s>Y?H-W  
@5#13(T1W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 m-?.mo;#  
d6,*we#5}  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 qOD1VlJAJ  
xB^@D1)6p  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) [16V?rz  
y{=655HP  
　　公式一： 0|,ST]cIJw  
=_ A_Fn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： q4'@Wn  
ZbL$:*I  
　　sin（2kπ＋α）= sinα *;V#.6+n  
V+e|NIz  
　　cos（2kπ＋α）= cosα e" 9?q.  
q{T?~Rxo  
　　tan（kπ＋α）= tanα ]:xn7tRN  
Ar<K g  
　　cot（kπ＋α）= cotα Ji`p|J *  
|)\XDdV?  
　　公式二： h;2um<YzS  
YPx1rbV  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;e3 _CB"_  
}>\}Y3Y:K  
　　sin（π＋α）= -sinα dF,9 ZEJg  
_>D 2>Vw  
　　cos（π＋α）= -cosα 2.a ( g'  
I0}Z2}Y  
　　tan（π＋α）= tanα d{<|UbKe5  
Nz)=7Um  
　　cot（π＋α）= cotα +{fCd A,  
56FbDq  
　　公式三： Wmsb"8Ow  
?5HSK05jW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： m^I QFs  
lfJ.D7Z  
　　sin（-α）= -sinα b;D61yH+  
)T0BX`\*  
　　cos（-α）= cosα T%.iS.p  
K2vcm +  
　　tan（-α）= -tanα $-$iHG~  
7a^Lue  
　　cot（-α）= -cotα 4x%D'4 2-  
;{n~`BU  
　　公式四： yP3llc\:  
E>G;<_S8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： PoT4IKe  
; uC&bMb  
　　sin（π-α）= sinα -:lgi=b|Z  
'jPMZ-^Z"  
　　cos（π-α）= -cosα @?Qp)3>?  
"bA&V!"LDm  
　　tan（π-α）= -tanα 69JX=E mD  
0%^=mA  
　　cot（π-α）= -cotα Sm*Si7GIm+  
Cjz%JzH!  
　　公式五： jqC[F7w Q  
-^Nj+  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： i;IzOYr2  
Tb5pFQ  
　　sin（2π-α）= -sinα x]{8D:yy  
(mi"qPNcN  
　　cos（2π-α）= cosα  VaL m  
6k D! >Cm  
　　tan（2π-α）= -tanα vUS5:Ji  
6G- z7F  
　　cot（2π-α）= -cotα 9>; W}{&C  
w=O`k(}/  
　　公式六： Q,[#yu4q'B  
K=8-vX7  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： `d *PDgo]  
gT/,R F  
　　sin（π/2+α）= cosα HGEdB!p/  
!Fos`7s  
　　cos（π/2+α）= -sinα }u61DPSB  
5E "Ji kp  
　　tan（π/2+α）= -cotα uw{1!K  
#|ua;dY/N  
　　cot（π/2+α）= -tanα t1^+hu  
q'w}%"q  
　　sin（π/2-α）= cosα e,R$)H  
tiuPthq  
　　cos（π/2-α）= sinα Apjf< {ya  
SY_)f% h  
　　tan（π/2-α）= cotα U) T]yZ9$  
"s a'.@  
　　cot（π/2-α）= tanα (mBaZ8 {6\  
P{&g0~A  
　　sin（3π/2+α）= -cosα IQAdg+(   
f4,nQ'M  
　　cos（3π/2+α）= sinα & 6 ^   
MX4t" p]  
　　tan（3π/2+α）= -cotα r=lM'vN  
BG58rdXF  
　　cot（3π/2+α）= -tanα b#ax 6:  
f>0{T<3<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ?AJLgKVR  
:X'FB3  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 5GutVZA  
-1TQuD}'  
　　tan（3π/2-α）= cotα RWz"-Y!H80  
OC ;eV3Du  
　　cot（3π/2-α）= tanα W% &U8}d  
-T\le;  
　　(以上k∈Z) uOe wO?R  
X<[Hy (/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 :kY<CI{W  
TzdX,ds  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = aW\xRD  
;&FG5`E3P]  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } XoemF  
3H=mv[.hI  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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